Risolvi 11y=3y^2-4

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

Trova y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 3y^{2} da entrambi i lati.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3y^{2}+ay+by+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 11 come somma.

$$a=12 b=-1$$

Riscrivi -3y^{2}+11y+4 come \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right).

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

Scomponi 3y in -3y^{2}+12y.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Fattorizza il termine comune -y+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -y+4=0 e 3y+1=0.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 3y^{2} da entrambi i lati.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 11 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 11 al quadrato.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 4.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 121 a 48.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 169.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-11±13}{-6} quando ± è più. Aggiungi -11 a 13.

$$y=\frac{2}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-11±13}{-6} quando ± è meno. Sottrai 13 da -11.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

Dividi -24 per -6.

$$y=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 3y^{2} da entrambi i lati.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

Dividi 11 per -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

Dividi -4 per -3.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

Dividi -\frac{11}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{6}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{6} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{6} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a \frac{121}{36} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Fattore y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Aggiungi \frac{11}{6} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$