Risolvi 11x^2-12x+3=0

$$11 x ^ { 2 } - 12 x + 3 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}\approx 0,70291371$$

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}\approx 0,387995381$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 11 a a, -12 a b e 3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 11\times 3}}{2\times 11}$$

Moltiplica -4 per 11.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-44\times 3}}{2\times 11}$$

Moltiplica -44 per 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-132}}{2\times 11}$$

Aggiungi 144 a -132.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{12}}{2\times 11}$$

Calcola la radice quadrata di 12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{2\times 11}$$

Moltiplica 2 per 11.

$$x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} quando ± è più. Aggiungi 12 a 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+12}{22}$$

Dividi 12+2\sqrt{3} per 22.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±2\sqrt{3}}{22} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{3} da 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{3}}{22}$$

Dividi 12-2\sqrt{3} per 22.

$$x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$11x^{2}-12x+3=0$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$11x^{2}-12x+3-3=-3$$

Sottraendo 3 da se stesso rimane 0.

$$11x^{2}-12x=-3$$

Dividi entrambi i lati per 11.

$$\frac{11x^{2}-12x}{11}=-\frac{3}{11}$$

La divisione per 11 annulla la moltiplicazione per 11.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x=-\frac{3}{11}$$

Dividi -\frac{12}{11}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{6}{11}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{6}{11} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}=-\frac{3}{11}+\left(-\frac{6}{11}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{6}{11} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=-\frac{3}{11}+\frac{36}{121}$$

Aggiungi -\frac{3}{11} a \frac{36}{121} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}=\frac{3}{121}$$

Fattore x^{2}-\frac{12}{11}x+\frac{36}{121}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}=\frac{3}{121}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{121}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{6}{11}=\frac{\sqrt{3}}{11} x-\frac{6}{11}=-\frac{\sqrt{3}}{11}$$

Aggiungi \frac{6}{11} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{3}+6}{11} x=\frac{6-\sqrt{3}}{11}$$