Risolvi 10x-x^2=16

$$10 x - x ^ { 2 } = 16$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$10x-x^{2}-16=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-x^{2}+10x-16=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=-\left(-16\right)=16$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=8 b=2$$

Riscrivi -x^{2}+10x-16 come \left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right)$$

Fattori in -x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)$$

Fattorizza il termine comune x-8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-8\right)\left(-x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-8=0 e -x+2=0.

$$x=8 x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+10x=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}+10x-16=16-16$$

Sottraendo 16 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}+10x-16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 10 a b e -16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 100 a -64.

$$x=\frac{-10±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-10±6}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-10±6}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±6}{-2} quando ± è più. Aggiungi -10 a 6.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividi -4 per -2.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±6}{-2} quando ± è meno. Sottrai 6 da -10.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

Dividi -16 per -2.

$$x=8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+10x=16$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+10x}{-1}=\frac{16}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{10}{-1}x=\frac{16}{-1}$$

Dividi 10 per -1.

$$x^{2}-10x=\frac{16}{-1}$$

Dividi 16 per -1.

$$x^{2}-10x=-16$$

Dividi -10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -5. Quindi aggiungi il quadrato di -5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-16+\left(-5\right)^{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x^{2}-10x+25=-16+25$$

Aggiungi -16 a 25.

$$x^{2}-10x+25=9$$

Fattore x^{2}-10x+25. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x-5=3 x-5=-3$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=2$$