Risolvi 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 10x^{2}+ax+bx-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=-8 b=15$$

Riscrivi 10x^{2}+7x-12 come \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-4=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 10 a a, 7 a b e -12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

Aggiungi 49 a 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 529.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±23}{20} quando ± è più. Aggiungi -7 a 23.

$$x=\frac{16}{20}$$

Riduci la frazione \frac{16}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±23}{20} quando ± è meno. Sottrai 23 da -7.

$$x=-\frac{30}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati dell'equazione.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Sottraendo -12 da se stesso rimane 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

Sottrai -12 da 0.

$$10x^{2}+7x=12$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

La divisione per 10 annulla la moltiplicazione per 10.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

Riduci la frazione \frac{12}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

Dividi \frac{7}{10}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{20}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{20} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{20} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

Aggiungi \frac{6}{5} a \frac{49}{400} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

Sottrai \frac{7}{20} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$