Risolvi 10x^2+160=(-4x-8)^2

$$10 x ^ { 2 } + 160 = ( - 4 x - 8 ) ^ { 2 }$$

Trova x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-12$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-4x-8\right)^{2}.

$$10x^{2}+160=16x^{2}+64x+64$$

Sottrai 16x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+160-16x^{2}=64x+64$$

Combina 10x^{2} e -16x^{2} per ottenere -6x^{2}.

$$-6x^{2}+160=64x+64$$

Sottrai 64x da entrambi i lati.

$$-6x^{2}+160-64x=64$$

Sottrai 64 da entrambi i lati.

$$-6x^{2}+160-64x-64=0$$

Sottrai 64 da 160 per ottenere 96.

$$-6x^{2}+96-64x=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$-3x^{2}+48-32x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-3x^{2}-32x+48=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+48. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-32 ab=-3\times 48=-144$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -32 come somma.

$$a=4 b=-36$$

Riscrivi -3x^{2}-32x+48 come \left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-36x+48\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-36x+48\right)$$

Fattori in -x nel primo e -12 nel secondo gruppo.

$$-x\left(3x-4\right)-12\left(3x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-12\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-4=0 e -x-12=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-12$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-4x-8\right)^{2}.

$$10x^{2}+160=16x^{2}+64x+64$$

Sottrai 16x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+160-16x^{2}=64x+64$$

Combina 10x^{2} e -16x^{2} per ottenere -6x^{2}.

$$-6x^{2}+160=64x+64$$

Sottrai 64x da entrambi i lati.

$$-6x^{2}+160-64x=64$$

Sottrai 64 da entrambi i lati.

$$-6x^{2}+160-64x-64=0$$

Sottrai 64 da 160 per ottenere 96.

$$-6x^{2}+96-64x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-6x^{2}-64x+96=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -6 a a, -64 a b e 96 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\left(-6\right)\times 96}}{2\left(-6\right)}$$

Eleva -64 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\left(-6\right)\times 96}}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica -4 per -6.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096+24\times 96}}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica 24 per 96.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096+2304}}{2\left(-6\right)}$$

Aggiungi 4096 a 2304.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{6400}}{2\left(-6\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 6400.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±80}{2\left(-6\right)}$$

L'opposto di -64 è 64.

$$x=\frac{64±80}{2\left(-6\right)}$$

Moltiplica 2 per -6.

$$x=\frac{64±80}{-12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{64±80}{-12} quando ± è più. Aggiungi 64 a 80.

$$x=\frac{144}{-12}$$

Dividi 144 per -12.

$$x=-12$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{64±80}{-12} quando ± è meno. Sottrai 80 da 64.

$$x=-\frac{16}{-12}$$

Riduci la frazione \frac{-16}{-12} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{4}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-12 x=\frac{4}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-4x-8\right)^{2}.

$$10x^{2}+160=16x^{2}+64x+64$$

Sottrai 16x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+160-16x^{2}=64x+64$$

Combina 10x^{2} e -16x^{2} per ottenere -6x^{2}.

$$-6x^{2}+160=64x+64$$

Sottrai 64x da entrambi i lati.

$$-6x^{2}+160-64x=64$$

Sottrai 160 da entrambi i lati.

$$-6x^{2}-64x=64-160$$

Sottrai 160 da 64 per ottenere -96.

$$-6x^{2}-64x=-96$$

Dividi entrambi i lati per -6.

$$\frac{-6x^{2}-64x}{-6}=-\frac{96}{-6}$$

La divisione per -6 annulla la moltiplicazione per -6.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{-6}\right)x=-\frac{96}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{-64}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x=-\frac{96}{-6}$$

Dividi -96 per -6.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x=16$$

Dividi \frac{32}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{16}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{16}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x+\left(\frac{16}{3}\right)^{2}=16+\left(\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{16}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=16+\frac{256}{9}$$

Aggiungi 16 a \frac{256}{9}.

$$x^{2}+\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{400}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{16}{3}=\frac{20}{3} x+\frac{16}{3}=-\frac{20}{3}$$

Sottrai \frac{16}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{3} x=-12$$