Risolvi 10p^2+9p+2

$$10 p ^ { 2 } + 9 p + 2$$

Scomponi in fattori

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come 10p^{2}+ap+bp+2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=9 ab=10\times 2=20$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 9 come somma.

$$a=4 b=5$$

Riscrivi 10p^{2}+9p+2 come \left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right).

$$\left(10p^{2}+4p\right)+\left(5p+2\right)$$

Scomponi 2p in 10p^{2}+4p.

$$2p\left(5p+2\right)+5p+2$$

Fattorizzare il termine comune 5p+2 usando la proprietà distributiva.

$$\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$10p^{2}+9p+2=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$p=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\times 2}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-40\times 2}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per 2.

$$p=\frac{-9±\sqrt{81-80}}{2\times 10}$$

Aggiungi 81 a -80.

$$p=\frac{-9±\sqrt{1}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$p=\frac{-9±1}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$p=\frac{-9±1}{20}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-9±1}{20} quando ± è più. Aggiungi -9 a 1.

$$p=-\frac{8}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-8}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione p=\frac{-9±1}{20} quando ± è meno. Sottrai 1 da -9.

$$p=-\frac{10}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$p=-\frac{1}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{2}{5} e x_{2} con -\frac{1}{2}.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(p-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$10p^{2}+9p+2=10\left(p+\frac{2}{5}\right)\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{2}{5} a p trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\left(p+\frac{1}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{1}{2} a p trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{5p+2}{5}\times \frac{2p+1}{2}$$

Moltiplica \frac{5p+2}{5} per \frac{2p+1}{2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{5\times 2}$$

Moltiplica 5 per 2.

$$10p^{2}+9p+2=10\times \frac{\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)}{10}$$

Cancella 10, il massimo comune divisore in 10 e 10.

$$10p^{2}+9p+2=\left(5p+2\right)\left(2p+1\right)$$

Calcola

$$\left(2p+1\right)\left(5p+2\right)$$