Risolvi 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Trova k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 10k^{2}+ak+bk-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 9 come somma.

$$a=-1 b=10$$

Riscrivi 10k^{2}+9k-1 come \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Scomponi k in 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Fattorizza il termine comune 10k-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 10k-1=0 e k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 10 a a, 9 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Aggiungi 81 a 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-9±11}{20} quando ± è più. Aggiungi -9 a 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Riduci la frazione \frac{2}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-9±11}{20} quando ± è meno. Sottrai 11 da -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Dividi -20 per 20.

$$k=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

La divisione per 10 annulla la moltiplicazione per 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Dividi \frac{9}{10}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{9}{20}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{9}{20} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Eleva \frac{9}{20} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Aggiungi \frac{1}{10} a \frac{81}{400} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Fattore k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Semplifica.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Sottrai \frac{9}{20} da entrambi i lati dell'equazione.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$