Risolvi 10x^2-3x-1=0

$$10 { x }^{ 2 } -3x-1=0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 10x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-5 b=2$$

Riscrivi 10x^{2}-3x-1 come \left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(10x^{2}-5x\right)+\left(2x-1\right)$$

Scomponi 5x in 10x^{2}-5x.

$$5x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 10 a a, -3 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 10}$$

Aggiungi 9 a 40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 10}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$x=\frac{3±7}{20}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±7}{20} quando ± è più. Aggiungi 3 a 7.

$$x=\frac{10}{20}$$

Riduci la frazione \frac{10}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±7}{20} quando ± è meno. Sottrai 7 da 3.

$$x=-\frac{4}{20}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{1}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-3x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$10x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$10x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$10x^{2}-3x=1$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$\frac{10x^{2}-3x}{10}=\frac{1}{10}$$

La divisione per 10 annulla la moltiplicazione per 10.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x=\frac{1}{10}$$

Dividi -\frac{3}{10}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{20}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{20} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(-\frac{3}{20}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{20} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{1}{10}+\frac{9}{400}$$

Aggiungi \frac{1}{10} a \frac{9}{400} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}=\frac{49}{400}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{10}x+\frac{9}{400}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}=\frac{49}{400}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{400}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{20}=\frac{7}{20} x-\frac{3}{20}=-\frac{7}{20}$$

Aggiungi \frac{3}{20} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{1}{5}$$