Risolvi 10x^2+72x-64=0

$$10 { x }^{ 2 } +72x-64=0$$

Trova x

$$x=-8$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 2.

$$5x^{2}+36x-32=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-32. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=36 ab=5\left(-32\right)=-160$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -160.

$$-1,160 -2,80 -4,40 -5,32 -8,20 -10,16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+160=159 -2+80=78 -4+40=36 -5+32=27 -8+20=12 -10+16=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 36 come somma.

$$a=-4 b=40$$

Riscrivi 5x^{2}+36x-32 come \left(5x^{2}-4x\right)+\left(40x-32\right).

$$\left(5x^{2}-4x\right)+\left(40x-32\right)$$

Fattori in x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$x\left(5x-4\right)+8\left(5x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-4\right)\left(x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-4=0 e x+8=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-8$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$10x^{2}+72x-64=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 10 a a, 72 a b e -64 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\times 10\left(-64\right)}}{2\times 10}$$

Eleva 72 al quadrato.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\times 10\left(-64\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-40\left(-64\right)}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per -64.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184+2560}}{2\times 10}$$

Aggiungi 5184 a 2560.

$$x=\frac{-72±\sqrt{7744}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 7744.

$$x=\frac{-72±88}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$x=\frac{-72±88}{20}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-72±88}{20} quando ± è più. Aggiungi -72 a 88.

$$x=\frac{16}{20}$$

Riduci la frazione \frac{16}{20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-72±88}{20} quando ± è meno. Sottrai 88 da -72.

$$x=-\frac{160}{20}$$

Dividi -160 per 20.

$$x=-8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{4}{5} x=-8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+72x-64=0$$

Aggiungi 64 a entrambi i lati dell'equazione.

$$10x^{2}+72x-64-\left(-64\right)=-\left(-64\right)$$

Sottraendo -64 da se stesso rimane 0.

$$10x^{2}+72x=-\left(-64\right)$$

Sottrai -64 da 0.

$$10x^{2}+72x=64$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$\frac{10x^{2}+72x}{10}=\frac{64}{10}$$

La divisione per 10 annulla la moltiplicazione per 10.

$$x^{2}+\frac{72}{10}x=\frac{64}{10}$$

Riduci la frazione \frac{72}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x=\frac{64}{10}$$

Riduci la frazione \frac{64}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x=\frac{32}{5}$$

Dividi \frac{36}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{18}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{18}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{32}{5}+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{18}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25}=\frac{32}{5}+\frac{324}{25}$$

Aggiungi \frac{32}{5} a \frac{324}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25}=\frac{484}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{36}{5}x+\frac{324}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18}{5}\right)^{2}=\frac{484}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{484}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{18}{5}=\frac{22}{5} x+\frac{18}{5}=-\frac{22}{5}$$

Sottrai \frac{18}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{5} x=-8$$