Risolvi 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

Trova x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Combina 10x^{2} e -3x^{2} per ottenere 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Combina 10x e 10x per ottenere 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Sottrai 11 da entrambi i lati.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Sottrai 11 da 8 per ottenere -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 20 come somma.

$$a=-1 b=21$$

Riscrivi 7x^{2}+20x-3 come \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

Fattori in x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 7x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 7x-1=0 e x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Combina 10x^{2} e -3x^{2} per ottenere 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Combina 10x e 10x per ottenere 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Sottrai 11 da entrambi i lati.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

Sottrai 11 da 8 per ottenere -3.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, 20 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

Aggiungi 400 a 84.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 484.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±22}{14} quando ± è più. Aggiungi -20 a 22.

$$x=\frac{2}{14}$$

Riduci la frazione \frac{2}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±22}{14} quando ± è meno. Sottrai 22 da -20.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Dividi -42 per 14.

$$x=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

Combina 10x^{2} e -3x^{2} per ottenere 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

Combina 10x e 10x per ottenere 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

Sottrai 8 da 11 per ottenere 3.

$$7x^{2}+20x=3$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

Dividi \frac{20}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{10}{7}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{10}{7} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

Eleva \frac{10}{7} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Aggiungi \frac{3}{7} a \frac{100}{49} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Fattore x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Sottrai \frac{10}{7} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$