Risolvi 1+5x/x+1=5/x^2+x

$$1 + \frac { 5 x } { x + 1 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } + x }$$

Trova x

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x+1,x^{2}+x.

$$x\left(x+1\right)+x\times 5x=5$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+1.

$$x^{2}+x+x\times 5x=5$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+x+x^{2}\times 5=5$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 5 per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x=5$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 6x^{2}+ax+bx-5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 1 come somma.

$$a=-5 b=6$$

Riscrivi 6x^{2}+x-5 come \left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Scomponi x in 6x^{2}-5x.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Fattorizza il termine comune 6x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 6x-5=0 e x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

La variabile x non può essere uguale a -1.

$$x=\frac{5}{6}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x+1,x^{2}+x.

$$x\left(x+1\right)+x\times 5x=5$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+1.

$$x^{2}+x+x\times 5x=5$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+x+x^{2}\times 5=5$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 5 per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x=5$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 6 a a, 1 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -4 per 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Moltiplica -24 per -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Aggiungi 1 a 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Moltiplica 2 per 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±11}{12} quando ± è più. Aggiungi -1 a 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Riduci la frazione \frac{10}{12} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±11}{12} quando ± è meno. Sottrai 11 da -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Dividi -12 per 12.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

La variabile x non può essere uguale a -1.

$$x=\frac{5}{6}$$

Procedura per completare il quadrato

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori -1,0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x+1\right), il minimo comune multiplo di x+1,x^{2}+x.

$$x\left(x+1\right)+x\times 5x=5$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+1.

$$x^{2}+x+x\times 5x=5$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+x+x^{2}\times 5=5$$

Combina x^{2} e x^{2}\times 5 per ottenere 6x^{2}.

$$6x^{2}+x=5$$

Dividi entrambi i lati per 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

La divisione per 6 annulla la moltiplicazione per 6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Dividi \frac{1}{6}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{12}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{12} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{12} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Aggiungi \frac{5}{6} a \frac{1}{144} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Fattore x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Sottrai \frac{1}{12} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

La variabile x non può essere uguale a -1.

$$x=\frac{5}{6}$$