Risolvi 0=4x^2-x-3

$$0 = 4 x ^ { 2 } - x - 3$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-4 b=3$$

Riscrivi 4x^{2}-x-3 come \left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(3x-3\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$4x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 4x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -1 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Aggiungi 1 a 48.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 49.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{1±7}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±7}{8} quando ± è più. Aggiungi 1 a 7.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividi 8 per 8.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±7}{8} quando ± è meno. Sottrai 7 da 1.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$4x^{2}-x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$4x^{2}-x=3$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-x}{4}=\frac{3}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}$$

Dividi -\frac{1}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a \frac{1}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} x-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Aggiungi \frac{1}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{3}{4}$$