Risolvi 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Trova t

$$t=1$$

$$t=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -t^{2}+at+bt-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=2 b=1$$

Riscrivi -t^{2}+3t-2 come \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Scomponi -t in -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Fattorizza il termine comune t-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-2=0 e -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -16 a a, 48 a b e -32 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 48 al quadrato.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica -4 per -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 64 per -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Aggiungi 2304 a -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 2 per -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-48±16}{-32} quando ± è più. Aggiungi -48 a 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Dividi -32 per -32.

$$t=1$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-48±16}{-32} quando ± è meno. Sottrai 16 da -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Dividi -64 per -32.

$$t=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=1 t=2$$

Procedura per completare il quadrato

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Aggiungi 32 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Dividi entrambi i lati per -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

La divisione per -16 annulla la moltiplicazione per -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Dividi 48 per -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Dividi 32 per -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Aggiungi -2 a \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Fattore t^{2}-3t+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=2 t=1$$