Risolvi -80x^2+50x-5=0

$$-80 { x }^{ 2 } +50x-5=0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 5.

$$-16x^{2}+10x-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -16x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=-16\left(-1\right)=16$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=8 b=2$$

Riscrivi -16x^{2}+10x-1 come \left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right).

$$\left(-16x^{2}+8x\right)+\left(2x-1\right)$$

Scomponi -8x in -16x^{2}+8x.

$$-8x\left(2x-1\right)+2x-1$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(-8x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e -8x+1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-80x^{2}+50x-5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -80 a a, 50 a b e -5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Eleva 50 al quadrato.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-80\right)\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Moltiplica -4 per -80.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500+320\left(-5\right)}}{2\left(-80\right)}$$

Moltiplica 320 per -5.

$$x=\frac{-50±\sqrt{2500-1600}}{2\left(-80\right)}$$

Aggiungi 2500 a -1600.

$$x=\frac{-50±\sqrt{900}}{2\left(-80\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 900.

$$x=\frac{-50±30}{2\left(-80\right)}$$

Moltiplica 2 per -80.

$$x=\frac{-50±30}{-160}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-50±30}{-160} quando ± è più. Aggiungi -50 a 30.

$$x=-\frac{20}{-160}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{-160} ai minimi termini estraendo e annullando 20.

$$x=\frac{1}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-50±30}{-160} quando ± è meno. Sottrai 30 da -50.

$$x=-\frac{80}{-160}$$

Riduci la frazione \frac{-80}{-160} ai minimi termini estraendo e annullando 80.

$$x=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{8} x=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-80x^{2}+50x-5=0$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-80x^{2}+50x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Sottraendo -5 da se stesso rimane 0.

$$-80x^{2}+50x=-\left(-5\right)$$

Sottrai -5 da 0.

$$-80x^{2}+50x=5$$

Dividi entrambi i lati per -80.

$$\frac{-80x^{2}+50x}{-80}=\frac{5}{-80}$$

La divisione per -80 annulla la moltiplicazione per -80.

$$x^{2}+\frac{50}{-80}x=\frac{5}{-80}$$

Riduci la frazione \frac{50}{-80} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x=\frac{5}{-80}$$

Riduci la frazione \frac{5}{-80} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x=-\frac{1}{16}$$

Dividi -\frac{5}{8}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{16}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{16} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{16} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=-\frac{1}{16}+\frac{25}{256}$$

Aggiungi -\frac{1}{16} a \frac{25}{256} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{256}$$

Fattore x^{2}-\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{256}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{256}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{16}=\frac{3}{16} x-\frac{5}{16}=-\frac{3}{16}$$

Aggiungi \frac{5}{16} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{8}$$