Risolvi -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -4 a a, 20 a b e -47 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva 20 al quadrato.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica -4 per -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 16 per -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Aggiungi 400 a -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Calcola la radice quadrata di -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 2 per -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} quando ± è più. Aggiungi -20 a 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Dividi -20+4i\sqrt{22} per -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} quando ± è meno. Sottrai 4i\sqrt{22} da -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Dividi -20-4i\sqrt{22} per -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Aggiungi 47 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Sottraendo -47 da se stesso rimane 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Sottrai -47 da 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

La divisione per -4 annulla la moltiplicazione per -4.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Dividi 20 per -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Dividi 47 per -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Dividi -5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Aggiungi -\frac{47}{4} a \frac{25}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Fattore x^{2}-5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$