Risolvi -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Trova x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 16 a b e 128 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 16 al quadrato.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 256 a 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} quando ± è più. Aggiungi -16 a 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Dividi -16+16\sqrt{7} per -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} quando ± è meno. Sottrai 16\sqrt{7} da -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Dividi -16-16\sqrt{7} per -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Sottrai 128 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Sottraendo 128 da se stesso rimane 0.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Dividi 16 per -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Dividi -128 per -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Dividi -\frac{16}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{8}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{8}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Aggiungi \frac{128}{3} a \frac{64}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$