Risolvi -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -1 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 1 a -4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di -3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} quando ± è più. Aggiungi 1 a i\sqrt{3}.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Dividi 1+i\sqrt{3} per -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} quando ± è meno. Sottrai i\sqrt{3} da 1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

Dividi 1-i\sqrt{3} per -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$-x^{2}-x=1$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

Dividi -1 per -1.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

Dividi 1 per -1.

$$x^{2}+x=-1$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

Aggiungi -1 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

Scomponi x^{2}+x+\frac{1}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$