Risolvi -x^2+7x-10=0

$$- x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 10.

$$1,10 2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+10=11 2+5=7$$

La soluzione è la coppia che restituisce 7 come somma.

$$a=5 b=2$$

Riscrivi -x^{2}+7x-10 come \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Fattorizza -x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-5 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-5=0 e -x+2=0.

$$x=5 x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 7 a b e -10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 49 a -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±3}{-2} quando ± è più. Aggiungi -7 a 3.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dividi -4 per -2.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-7±3}{-2} quando ± è meno. Sottrai 3 da -7.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Dividi -10 per -2.

$$x=5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Aggiungi 10 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Sottraendo -10 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

Sottrai -10 da 0.

$$-x^{2}+7x=10$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

Dividi 7 per -1.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

Dividi 10 per -1.

$$x^{2}-7x=-10$$

Dividi -7, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{7}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{7}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Aggiungi -10 a \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Scomponi x^{2}-7x+\frac{49}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{7}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=2$$