Risolvi -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Trova x

$$x=-3$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -15.

$$-1,15 -3,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=5 b=-3$$

Riscrivi -x^{2}+2x+15 come \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Fattori in -x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 2 a b e 15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 4 a 60.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±8}{-2} quando ± è più. Aggiungi -2 a 8.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dividi 6 per -2.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±8}{-2} quando ± è meno. Sottrai 8 da -2.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

Dividi -10 per -2.

$$x=5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Sottrai 15 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

Sottraendo 15 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

Dividi 2 per -1.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

Dividi -15 per -1.

$$x^{2}-2x=15$$

Dividi -2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -1. Quindi aggiungi il quadrato di -1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

Aggiungi 15 a 1.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Fattore x^{2}-2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Semplifica.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-3$$