Risolvi -x^2+14x-40=0

$$- x ^ { 2 } + 14 x - 40 = 0$$

Trova x

$$x=4$$

$$x=10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-40. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=-\left(-40\right)=40$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 40.

$$1,40 2,20 4,10 5,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+40=41 2+20=22 4+10=14 5+8=13$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=10 b=4$$

Riscrivi -x^{2}+14x-40 come \left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(4x-40\right)$$

Fattori in -x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-10\right)+4\left(x-10\right)$$

Fattorizza il termine comune x-10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-10=0 e -x+4=0.

$$x=10 x=4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 14 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 14 al quadrato.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-40\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -40.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-160}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 196 a -160.

$$x=\frac{-14±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-14±6}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-14±6}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±6}{-2} quando ± è più. Aggiungi -14 a 6.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Dividi -8 per -2.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±6}{-2} quando ± è meno. Sottrai 6 da -14.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Dividi -20 per -2.

$$x=10$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=10$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x-40=0$$

Aggiungi 40 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-x^{2}+14x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Sottraendo -40 da se stesso rimane 0.

$$-x^{2}+14x=-\left(-40\right)$$

Sottrai -40 da 0.

$$-x^{2}+14x=40$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{40}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{40}{-1}$$

Dividi 14 per -1.

$$x^{2}-14x=\frac{40}{-1}$$

Dividi 40 per -1.

$$x^{2}-14x=-40$$

Dividi -14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -7. Quindi aggiungi il quadrato di -7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Aggiungi -40 a 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Fattore x^{2}-14x+49. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=10 x=4$$