Risolvi -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3,924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1,924988129$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -9 a a, 18 a b e 68 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Eleva 18 al quadrato.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica -4 per -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 36 per 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

Aggiungi 324 a 2448.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 2772.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 2 per -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} quando ± è più. Aggiungi -18 a 6\sqrt{77}.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Dividi -18+6\sqrt{77} per -18.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} quando ± è meno. Sottrai 6\sqrt{77} da -18.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

Dividi -18-6\sqrt{77} per -18.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

Sottrai 68 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

Sottraendo 68 da se stesso rimane 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

Dividi entrambi i lati per -9.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

La divisione per -9 annulla la moltiplicazione per -9.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

Dividi 18 per -9.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

Dividi -68 per -9.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

Dividi -2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -1. Quindi aggiungi il quadrato di -1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

Aggiungi \frac{68}{9} a 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

Fattore x^{2}-2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

Semplifica.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$