Risolvi -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx-1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=3 b=1$$

Riscrivi -3x^{2}+4x-1 come \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -9 a a, 12 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica -4 per -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 36 per -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

Aggiungi 144 a -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 2 per -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±6}{-18} quando ± è più. Aggiungi -12 a 6.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Riduci la frazione \frac{-6}{-18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-12±6}{-18} quando ± è meno. Sottrai 6 da -12.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

Dividi -18 per -18.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$-9x^{2}+12x=3$$

Dividi entrambi i lati per -9.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

La divisione per -9 annulla la moltiplicazione per -9.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

Riduci la frazione \frac{12}{-9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

Riduci la frazione \frac{3}{-9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{3} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$