Risolvi -8x^2+22x-15

$$- 8 x ^ { 2 } + 22 x - 15$$

Scomponi in fattori

$$\left(5-4x\right)\left(2x-3\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come -8x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=22 ab=-8\left(-15\right)=120$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

La soluzione è la coppia che restituisce 22 come somma.

$$a=12 b=10$$

Riscrivi -8x^{2}+22x-15 come \left(-8x^{2}+12x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(-8x^{2}+12x\right)+\left(10x-15\right)$$

Fattori in -4x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$-4x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(-4x+5\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$-8x^{2}+22x-15=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Eleva 22 al quadrato.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica -4 per -8.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484+32\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica 32 per -15.

$$x=\frac{-22±\sqrt{484-480}}{2\left(-8\right)}$$

Aggiungi 484 a -480.

$$x=\frac{-22±\sqrt{4}}{2\left(-8\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-22±2}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica 2 per -8.

$$x=\frac{-22±2}{-16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-22±2}{-16} quando ± è più. Aggiungi -22 a 2.

$$x=-\frac{20}{-16}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{-16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-22±2}{-16} quando ± è meno. Sottrai 2 da -22.

$$x=-\frac{24}{-16}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{-16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{5}{4} e x_{2} con \frac{3}{2}.

$$-8x^{2}+22x-15=-8\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

Sottrai \frac{5}{4} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-8x^{2}+22x-15=-8\times \frac{-4x+5}{-4}\left(x-\frac{3}{2}\right)$$

Sottrai \frac{3}{2} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-8x^{2}+22x-15=-8\times \frac{-4x+5}{-4}\times \frac{-2x+3}{-2}$$

Moltiplica \frac{-4x+5}{-4} per \frac{-2x+3}{-2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-8x^{2}+22x-15=-8\times \frac{\left(-4x+5\right)\left(-2x+3\right)}{-4\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$-8x^{2}+22x-15=-8\times \frac{\left(-4x+5\right)\left(-2x+3\right)}{8}$$

Annulla il massimo comune divisore 8 in -8 e 8.

$$-8x^{2}+22x-15=-\left(-4x+5\right)\left(-2x+3\right)$$

Calcola

$$\left(5-4x\right)\left(2x-3\right)$$