Risolvi -8r^2+26r-15

$$- 8 r ^ { 2 } + 26 r - 15$$

Scomponi in fattori

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$

Procedura della soluzione

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come -8r^{2}+ar+br-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=26 ab=-8\left(-15\right)=120$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 120.

$$1,120 2,60 3,40 4,30 5,24 6,20 8,15 10,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+120=121 2+60=62 3+40=43 4+30=34 5+24=29 6+20=26 8+15=23 10+12=22$$

La soluzione è la coppia che restituisce 26 come somma.

$$a=20 b=6$$

Riscrivi -8r^{2}+26r-15 come \left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right).

$$\left(-8r^{2}+20r\right)+\left(6r-15\right)$$

Fattori in -4r nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$-4r\left(2r-5\right)+3\left(2r-5\right)$$

Fattorizza il termine comune 2r-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2r-5\right)\left(-4r+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$-8r^{2}+26r-15=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$r=\frac{-26±\sqrt{26^{2}-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Eleva 26 al quadrato.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-4\left(-8\right)\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica -4 per -8.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676+32\left(-15\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica 32 per -15.

$$r=\frac{-26±\sqrt{676-480}}{2\left(-8\right)}$$

Aggiungi 676 a -480.

$$r=\frac{-26±\sqrt{196}}{2\left(-8\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$r=\frac{-26±14}{2\left(-8\right)}$$

Moltiplica 2 per -8.

$$r=\frac{-26±14}{-16}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-26±14}{-16} quando ± è più. Aggiungi -26 a 14.

$$r=-\frac{12}{-16}$$

Riduci la frazione \frac{-12}{-16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$r=\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{-26±14}{-16} quando ± è meno. Sottrai 14 da -26.

$$r=-\frac{40}{-16}$$

Riduci la frazione \frac{-40}{-16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$r=\frac{5}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{4} e x_{2} con \frac{5}{2}.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\left(r-\frac{3}{4}\right)\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Sottrai \frac{3}{4} da r trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\left(r-\frac{5}{2}\right)$$

Sottrai \frac{5}{2} da r trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{-4r+3}{-4}\times \frac{-2r+5}{-2}$$

Moltiplica \frac{-4r+3}{-4} per \frac{-2r+5}{-2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{-4\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$-8r^{2}+26r-15=-8\times \frac{\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)}{8}$$

Annulla il massimo comune divisore 8 in -8 e 8.

$$-8r^{2}+26r-15=-\left(-4r+3\right)\left(-2r+5\right)$$

Calcola

$$\left(3-4r\right)\left(2r-5\right)$$