Risolvi -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

Trova b

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5,311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,188262309$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -4 a a, 22 a b e -4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva 22 al quadrato.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica -4 per -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 16 per -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

Aggiungi 484 a -64.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 420.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 2 per -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} quando ± è più. Aggiungi -22 a 2\sqrt{105}.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Dividi -22+2\sqrt{105} per -8.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

Ora risolvi l'equazione b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{105} da -22.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

Dividi -22-2\sqrt{105} per -8.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

Sottrai -4 da 0.

$$-4b^{2}+22b=4$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

La divisione per -4 annulla la moltiplicazione per -4.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

Riduci la frazione \frac{22}{-4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

Dividi 4 per -4.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

Dividi -\frac{11}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{11}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{11}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{11}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

Aggiungi -1 a \frac{121}{16}.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

Fattore b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Semplifica.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Aggiungi \frac{11}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$