Risolvi -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Trova x

$$x=4$$

$$x=13$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Dividi entrambi i lati per 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-52. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

La soluzione è la coppia che restituisce 17 come somma.

$$a=13 b=4$$

Riscrivi -x^{2}+17x-52 come \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Fattori in -x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Fattorizza il termine comune x-13 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-13=0 e -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 51 a b e -156 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 51 al quadrato.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 2601 a -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-51±27}{-6} quando ± è più. Aggiungi -51 a 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Dividi -24 per -6.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-51±27}{-6} quando ± è meno. Sottrai 27 da -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Dividi -78 per -6.

$$x=13$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=13$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Aggiungi 156 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Sottraendo -156 da se stesso rimane 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Sottrai -156 da 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Dividi 51 per -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Dividi 156 per -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Dividi -17, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{17}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{17}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{17}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Aggiungi -52 a \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Fattore x^{2}-17x+\frac{289}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Aggiungi \frac{17}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=13 x=4$$