Risolvi -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Risolvi per x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica la disequazione per-1 per rendere il coefficiente della massima potenza in -3x^{2}+5x+2 positivo. Dal momento che -1 è negativo, la direzione della disuguaglianza è cambiata.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 3 con a, -5 con b e -2 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{5±7}{6} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Affinché il prodotto sia ≤0, uno dei valori x-2 e x+\frac{1}{3} deve essere ≥0 e l'altro ≤0. Considerare il caso di x-2\geq 0 e x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Falso per qualsiasi x.

$$x\in \emptyset$$

Considerare il caso di x-2\leq 0 e x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$