Risolvi -3x+2y=-6text{and}2x+4y=20

$$- 3 x + 2 y = - 6 \text { and } 2 x + 4 y = 20$$

Trova x,.y

$$x=4$$

$$y=3$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$-3x+2y=-6$$

Sottrai 2y da entrambi i lati dell'equazione.

$$-3x=-2y-6$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2y-6\right)$$

Moltiplica -\frac{1}{3} per -2y-6.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Sostituisci \frac{2y}{3}+2 a x nell'altra equazione 2x+4y=20.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+4y=20$$

Moltiplica 2 per \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+4y=20$$

Aggiungi \frac{4y}{3} a 4y.

$$\frac{16}{3}y+4=20$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{16}{3}y=16$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{16}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in x=\frac{2}{3}y+2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{2}{3}\times 3+2$$

Moltiplica \frac{2}{3} per 3.

$$x=2+2$$

Aggiungi 2 a 2.

$$x=4$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=4,y=3$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}\\-\frac{2}{-3\times 4-2\times 2}&-\frac{3}{-3\times 4-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\\\frac{1}{8}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\20\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-6\right)+\frac{1}{8}\times 20\\\frac{1}{8}\left(-6\right)+\frac{3}{16}\times 20\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=4,y=3$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$-3x+2y=-6,2x+4y=20$$

Per rendere -3x e 2x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 2 e tutti i termini su ogni lato della seconda per -3.

$$2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\left(-6\right),-3\times 2x-3\times 4y=-3\times 20$$

Semplifica.

$$-6x+4y=-12,-6x-12y=-60$$

Sottrai -6x-12y=-60 a -6x+4y=-12 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-6x+6x+4y+12y=-12+60$$

Aggiungi -6x a 6x. I termini -6x e 6x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$4y+12y=-12+60$$

Aggiungi 4y a 12y.

$$16y=-12+60$$

Aggiungi -12 a 60.

$$16y=48$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$y=3$$

Sostituisci 3 a y in 2x+4y=20. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$2x+4\times 3=20$$

Moltiplica 4 per 3.

$$2x+12=20$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x=8$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x=4$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=4,y=3$$