Risolvi -2x^2-7x-3=0

$$- 2 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=-3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -2x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-7 ab=-2\left(-3\right)=6$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -7 come somma.

$$a=-1 b=-6$$

Riscrivi -2x^{2}-7x-3 come \left(-2x^{2}-x\right)+\left(-6x-3\right).

$$\left(-2x^{2}-x\right)+\left(-6x-3\right)$$

Fattori in -x nel primo e -3 nel secondo gruppo.

$$-x\left(2x+1\right)-3\left(2x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x+1\right)\left(-x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x+1=0 e -x-3=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-2x^{2}-7x-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -2 a a, -7 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-2\right)\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+8\left(-3\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 8 per -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24}}{2\left(-2\right)}$$

Aggiungi 49 a -24.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{25}}{2\left(-2\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±5}{2\left(-2\right)}$$

L'opposto di -7 è 7.

$$x=\frac{7±5}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 2 per -2.

$$x=\frac{7±5}{-4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±5}{-4} quando ± è più. Aggiungi 7 a 5.

$$x=\frac{12}{-4}$$

Dividi 12 per -4.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{7±5}{-4} quando ± è meno. Sottrai 5 da 7.

$$x=\frac{2}{-4}$$

Riduci la frazione \frac{2}{-4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=-\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}-7x-3=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-2x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Sottraendo -3 da se stesso rimane 0.

$$-2x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Sottrai -3 da 0.

$$-2x^{2}-7x=3$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$\frac{-2x^{2}-7x}{-2}=\frac{3}{-2}$$

La divisione per -2 annulla la moltiplicazione per -2.

$$x^{2}+\left(-\frac{7}{-2}\right)x=\frac{3}{-2}$$

Dividi -7 per -2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{3}{-2}$$

Dividi 3 per -2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividi \frac{7}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{49}{16}$$

Aggiungi -\frac{3}{2} a \frac{49}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{25}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{5}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{5}{4}$$

Sottrai \frac{7}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{2} x=-3$$