Risolvi -2x^2+6x+16=-4

$$- 2 x ^ { 2 } + 6 x + 16 = - 4$$

Trova x

$$x=-2$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 4 a entrambi i lati.

$$-2x^{2}+6x+16+4=0$$

E 16 e 4 per ottenere 20.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$-x^{2}+3x+10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$-1,10 -2,5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=5 b=-2$$

Riscrivi -x^{2}+3x+10 come \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

Fattori in -x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e -x-2=0.

$$x=5 x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Aggiungi 4 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=-4-\left(-4\right)$$

Sottraendo -4 da se stesso rimane 0.

$$-2x^{2}+6x+16-\left(-4\right)=0$$

Sottrai -4 da 16.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -2 a a, 6 a b e 20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 8 per 20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2\left(-2\right)}$$

Aggiungi 36 a 160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2\left(-2\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-6±14}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 2 per -2.

$$x=\frac{-6±14}{-4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±14}{-4} quando ± è più. Aggiungi -6 a 14.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Dividi 8 per -4.

$$x=-2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±14}{-4} quando ± è meno. Sottrai 14 da -6.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Dividi -20 per -4.

$$x=5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-2 x=5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+6x+16=-4$$

Sottrai 16 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2x^{2}+6x+16-16=-4-16$$

Sottraendo 16 da se stesso rimane 0.

$$-2x^{2}+6x=-4-16$$

Sottrai 16 da -4.

$$-2x^{2}+6x=-20$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{20}{-2}$$

La divisione per -2 annulla la moltiplicazione per -2.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{20}{-2}$$

Dividi 6 per -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{20}{-2}$$

Dividi -20 per -2.

$$x^{2}-3x=10$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 10 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore x^{2}-3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-2$$