Risolvi -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Trova x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -2x^{2}+ax+bx+24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 13 come somma.

$$a=16 b=-3$$

Riscrivi -2x^{2}+13x+24 come \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+8 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+8=0 e 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -2 a a, 13 a b e 24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Eleva 13 al quadrato.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 8 per 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Aggiungi 169 a 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Moltiplica 2 per -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±19}{-4} quando ± è più. Aggiungi -13 a 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Riduci la frazione \frac{6}{-4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-13±19}{-4} quando ± è meno. Sottrai 19 da -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Dividi -32 per -4.

$$x=8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Sottrai 24 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Sottraendo 24 da se stesso rimane 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

La divisione per -2 annulla la moltiplicazione per -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Dividi 13 per -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Dividi -24 per -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Dividi -\frac{13}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{13}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{13}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Aggiungi 12 a \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Aggiungi \frac{13}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$