Risolvi -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Risolvi per x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica la disequazione per-1 per rendere il coefficiente della massima potenza in -2x^{2}+12x-14 positivo. Dal momento che -1 è negativo, la direzione della disuguaglianza è cambiata.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 2 con a, -12 con b e 14 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Affinché il prodotto sia negativo, x-\left(\sqrt{2}+3\right) e x-\left(3-\sqrt{2}\right) devono avere segni opposti. Considera il caso in cui x-\left(\sqrt{2}+3\right) è positiva e x-\left(3-\sqrt{2}\right) è negativa.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Falso per qualsiasi x.

$$x\in \emptyset$$

Considera il caso in cui x-\left(3-\sqrt{2}\right) è positiva e x-\left(\sqrt{2}+3\right) è negativa.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$