Risolvi -18a^2-102a+168

$$- 18 a ^ { 2 } - 102 a + 168$$

Scomponi in fattori

$$6\left(-a-7\right)\left(3a-4\right)$$

Procedura della soluzione

Scomponi 6 in fattori.

$$6\left(-3a^{2}-17a+28\right)$$

Considera -3a^{2}-17a+28. Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come -3a^{2}+pa+qa+28. Per trovare p e q, configurare un sistema da risolvere.

$$p+q=-17 pq=-3\times 28=-84$$

Poiché pq è negativo, p e q hanno i segni opposti. Poiché p+q è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -17 come somma.

$$p=4 q=-21$$

Riscrivi -3a^{2}-17a+28 come \left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right).

$$\left(-3a^{2}+4a\right)+\left(-21a+28\right)$$

Fattori in -a nel primo e -7 nel secondo gruppo.

$$-a\left(3a-4\right)-7\left(3a-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 3a-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata completa.

$$6\left(3a-4\right)\left(-a-7\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$-18a^{2}-102a+168=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Eleva -102 al quadrato.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-18\right)\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Moltiplica -4 per -18.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+72\times 168}}{2\left(-18\right)}$$

Moltiplica 72 per 168.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+12096}}{2\left(-18\right)}$$

Aggiungi 10404 a 12096.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{22500}}{2\left(-18\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 22500.

$$a=\frac{-\left(-102\right)±150}{2\left(-18\right)}$$

L'opposto di -102 è 102.

$$a=\frac{102±150}{2\left(-18\right)}$$

Moltiplica 2 per -18.

$$a=\frac{102±150}{-36}$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{102±150}{-36} quando ± è più. Aggiungi 102 a 150.

$$a=\frac{252}{-36}$$

Dividi 252 per -36.

$$a=-7$$

Ora risolvi l'equazione a=\frac{102±150}{-36} quando ± è meno. Sottrai 150 da 102.

$$a=-\frac{48}{-36}$$

Riduci la frazione \frac{-48}{-36} ai minimi termini estraendo e annullando 12.

$$a=\frac{4}{3}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -7 e x_{2} con \frac{4}{3}.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a-\left(-7\right)\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\left(a-\frac{4}{3}\right)$$

Sottrai \frac{4}{3} da a trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-18a^{2}-102a+168=-18\left(a+7\right)\times \frac{-3a+4}{-3}$$

Annulla il massimo comune divisore 3 in -18 e 3.

$$-18a^{2}-102a+168=6\left(a+7\right)\left(-3a+4\right)$$

Calcola

$$168-102a-18a^{2}$$