Risolvi -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Scomponi in fattori

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Procedura della soluzione

Scomponi 4 in fattori.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Considera -4t^{2}+24t-27. Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come -4t^{2}+at+bt-27. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

La soluzione è la coppia che restituisce 24 come somma.

$$a=18 b=6$$

Riscrivi -4t^{2}+24t-27 come \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Fattori in -2t nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Fattorizza il termine comune 2t-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Riscrivi l'espressione fattorizzata completa.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 96 al quadrato.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica -4 per -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 64 per -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Aggiungi 9216 a -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 2 per -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-96±48}{-32} quando ± è più. Aggiungi -96 a 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Riduci la frazione \frac{-48}{-32} ai minimi termini estraendo e annullando 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-96±48}{-32} quando ± è meno. Sottrai 48 da -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Riduci la frazione \frac{-144}{-32} ai minimi termini estraendo e annullando 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con \frac{3}{2} e x_{2} con \frac{9}{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Sottrai \frac{3}{2} da t trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Sottrai \frac{9}{2} da t trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Moltiplica \frac{-2t+3}{-2} per \frac{-2t+9}{-2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Moltiplica -2 per -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Annulla il massimo comune divisore 4 in -16 e 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Calcola

$$-16t^{2}+96t-108$$