Risolvi -16t^2+92t+20=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 92 t + 20 = 0$$

Trova t

$$t = \frac{\sqrt{609} + 23}{8} \approx 5,95974067$$

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}\approx -0,20974067$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -16 a a, 92 a b e 20 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 92 al quadrato.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-16\right)\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica -4 per -16.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+64\times 20}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 64 per 20.

$$t=\frac{-92±\sqrt{8464+1280}}{2\left(-16\right)}$$

Aggiungi 8464 a 1280.

$$t=\frac{-92±\sqrt{9744}}{2\left(-16\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 9744.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 2 per -16.

$$t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} quando ± è più. Aggiungi -92 a 4\sqrt{609}.

$$t=\frac{4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Dividi -92+4\sqrt{609} per -32.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-92±4\sqrt{609}}{-32} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{609} da -92.

$$t=\frac{-4\sqrt{609}-92}{-32}$$

Dividi -92-4\sqrt{609} per -32.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=\frac{23-\sqrt{609}}{8} t=\frac{\sqrt{609}+23}{8}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+92t+20=0$$

Sottrai 20 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-16t^{2}+92t+20-20=-20$$

Sottraendo 20 da se stesso rimane 0.

$$-16t^{2}+92t=-20$$

Dividi entrambi i lati per -16.

$$\frac{-16t^{2}+92t}{-16}=-\frac{20}{-16}$$

La divisione per -16 annulla la moltiplicazione per -16.

$$t^{2}+\frac{92}{-16}t=-\frac{20}{-16}$$

Riduci la frazione \frac{92}{-16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=-\frac{20}{-16}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{-16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t=\frac{5}{4}$$

Dividi -\frac{23}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{23}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{23}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{23}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{23}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{5}{4}+\frac{529}{64}$$

Aggiungi \frac{5}{4} a \frac{529}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}=\frac{609}{64}$$

Fattore t^{2}-\frac{23}{4}t+\frac{529}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}=\frac{609}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{23}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{609}{64}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{23}{8}=\frac{\sqrt{609}}{8} t-\frac{23}{8}=-\frac{\sqrt{609}}{8}$$

Aggiungi \frac{23}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=\frac{\sqrt{609}+23}{8} t=\frac{23-\sqrt{609}}{8}$$