Risolvi -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

Trova t

$$t=1$$

$$t=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Sottrai 128 da entrambi i lati.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Sottrai 128 da 80 per ottenere -48.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -t^{2}+at+bt-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=3 b=1$$

Riscrivi -t^{2}+4t-3 come \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

Scomponi -t in -t^{2}+3t.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

Fattorizza il termine comune t-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-3=0 e -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Sottrai 128 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

Sottraendo 128 da se stesso rimane 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

Sottrai 128 da 80.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -16 a a, 64 a b e -48 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Eleva 64 al quadrato.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica -4 per -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 64 per -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

Aggiungi 4096 a -3072.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 1024.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

Moltiplica 2 per -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-64±32}{-32} quando ± è più. Aggiungi -64 a 32.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Dividi -32 per -32.

$$t=1$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{-64±32}{-32} quando ± è meno. Sottrai 32 da -64.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

Dividi -96 per -32.

$$t=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=1 t=3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

Sottrai 80 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

Sottraendo 80 da se stesso rimane 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

Sottrai 80 da 128.

$$-16t^{2}+64t=48$$

Dividi entrambi i lati per -16.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

La divisione per -16 annulla la moltiplicazione per -16.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

Dividi 64 per -16.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

Dividi 48 per -16.

$$t^{2}-4t=-3$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

Aggiungi -3 a 4.

$$t^{2}-4t+4=1$$

Fattore t^{2}-4t+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$t-2=1 t-2=-1$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=3 t=1$$