Risolvi -y^2+10y+400=0

$$- { y }^{ 2 } +10y+400=0$$

Trova y

$$y=5\sqrt{17}+5\approx 25,615528128$$

$$y=5-5\sqrt{17}\approx -15,615528128$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 10 a b e 400 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\times 400}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 400.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+1600}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 100 a 1600.

$$y=\frac{-10±\sqrt{1700}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 1700.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} quando ± è più. Aggiungi -10 a 10\sqrt{17}.

$$y=\frac{10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Dividi -10+10\sqrt{17} per -2.

$$y=5-5\sqrt{17}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-10±10\sqrt{17}}{-2} quando ± è meno. Sottrai 10\sqrt{17} da -10.

$$y=\frac{-10\sqrt{17}-10}{-2}$$

Dividi -10-10\sqrt{17} per -2.

$$y=5\sqrt{17}+5$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=5-5\sqrt{17} y=5\sqrt{17}+5$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y+400=0$$

Sottrai 400 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-y^{2}+10y+400-400=-400$$

Sottraendo 400 da se stesso rimane 0.

$$-y^{2}+10y=-400$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=-\frac{400}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=-\frac{400}{-1}$$

Dividi 10 per -1.

$$y^{2}-10y=-\frac{400}{-1}$$

Dividi -400 per -1.

$$y^{2}-10y=400$$

Dividi -10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -5. Quindi aggiungi il quadrato di -5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=400+\left(-5\right)^{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$y^{2}-10y+25=400+25$$

Aggiungi 400 a 25.

$$y^{2}-10y+25=425$$

Fattore y^{2}-10y+25. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=425$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{425}$$

Semplifica.

$$y-5=5\sqrt{17} y-5=-5\sqrt{17}$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=5\sqrt{17}+5 y=5-5\sqrt{17}$$