Risolvi -1/3(x+2)(x-1/3)>0

$$- \frac { 1 } { 3 } ( x + 2 ) ( x - \frac { 1 } { 3 } ) > 0$$

Risolvi per x

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -\frac{1}{3} per x+2.

$$\left(-\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -\frac{1}{3}x-\frac{2}{3} per x-\frac{1}{3} e combinare i termini simili.

$$-\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9}>0$$

Moltiplica la disequazione per-1 per rendere il coefficiente della massima potenza in -\frac{1}{3}x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{2}{9} positivo. Dal momento che -1 è negativo, la direzione della disuguaglianza è cambiata.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}<0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{5}{9}x-\frac{2}{9}=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci \frac{1}{3} con a, \frac{5}{9} con b e -\frac{2}{9} con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\sqrt{\left(\frac{5}{9}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-\frac{2}{9}\right)}}{\frac{1}{3}\times 2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{-\frac{5}{9}±\frac{7}{9}}{\frac{2}{3}} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$\frac{1}{3}\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+2\right)<0$$

Affinché il prodotto sia negativo, x-\frac{1}{3} e x+2 devono avere segni opposti. Considera il caso in cui x-\frac{1}{3} è positiva e x+2 è negativa.

$$x-\frac{1}{3}>0 x+2<0$$

Falso per qualsiasi x.

$$x\in \emptyset$$

Considera il caso in cui x+2 è positiva e x-\frac{1}{3} è negativa.

$$x+2>0 x-\frac{1}{3}<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right).

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x\in \left(-2,\frac{1}{3}\right)$$