Risolvi (x+5)(2-3x)=x(x+5)

$$(x+5)(2-3x)=x(x+5)$$

Trova x

$$x=-5$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+5 per 2-3x e combinare i termini simili.

$$-13x-3x^{2}+10=x\left(x+5\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+5.

$$-13x-3x^{2}+10=x^{2}+5x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-13x-3x^{2}+10-x^{2}=5x$$

Combina -3x^{2} e -x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$-13x-4x^{2}+10=5x$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$-13x-4x^{2}+10-5x=0$$

Combina -13x e -5x per ottenere -18x.

$$-18x-4x^{2}+10=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$-9x-2x^{2}+5=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-2x^{2}-9x+5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -2x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-9 ab=-2\times 5=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -9 come somma.

$$a=1 b=-10$$

Riscrivi -2x^{2}-9x+5 come \left(-2x^{2}+x\right)+\left(-10x+5\right).

$$\left(-2x^{2}+x\right)+\left(-10x+5\right)$$

Fattori in -x nel primo e -5 nel secondo gruppo.

$$-x\left(2x-1\right)-5\left(2x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(-x-5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-1=0 e -x-5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+5 per 2-3x e combinare i termini simili.

$$-13x-3x^{2}+10=x\left(x+5\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+5.

$$-13x-3x^{2}+10=x^{2}+5x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-13x-3x^{2}+10-x^{2}=5x$$

Combina -3x^{2} e -x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$-13x-4x^{2}+10=5x$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$-13x-4x^{2}+10-5x=0$$

Combina -13x e -5x per ottenere -18x.

$$-18x-4x^{2}+10=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-4x^{2}-18x+10=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -4 a a, -18 a b e 10 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{\left(-18\right)^{2}-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva -18 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324-4\left(-4\right)\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica -4 per -4.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+16\times 10}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 16 per 10.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{324+160}}{2\left(-4\right)}$$

Aggiungi 324 a 160.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±\sqrt{484}}{2\left(-4\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 484.

$$x=\frac{-\left(-18\right)±22}{2\left(-4\right)}$$

L'opposto di -18 è 18.

$$x=\frac{18±22}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 2 per -4.

$$x=\frac{18±22}{-8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{18±22}{-8} quando ± è più. Aggiungi 18 a 22.

$$x=\frac{40}{-8}$$

Dividi 40 per -8.

$$x=-5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{18±22}{-8} quando ± è meno. Sottrai 22 da 18.

$$x=-\frac{4}{-8}$$

Riduci la frazione \frac{-4}{-8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-5 x=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+5 per 2-3x e combinare i termini simili.

$$-13x-3x^{2}+10=x\left(x+5\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+5.

$$-13x-3x^{2}+10=x^{2}+5x$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-13x-3x^{2}+10-x^{2}=5x$$

Combina -3x^{2} e -x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$-13x-4x^{2}+10=5x$$

Sottrai 5x da entrambi i lati.

$$-13x-4x^{2}+10-5x=0$$

Combina -13x e -5x per ottenere -18x.

$$-18x-4x^{2}+10=0$$

Sottrai 10 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-18x-4x^{2}=-10$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-18x=-10$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$\frac{-4x^{2}-18x}{-4}=-\frac{10}{-4}$$

La divisione per -4 annulla la moltiplicazione per -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{18}{-4}\right)x=-\frac{10}{-4}$$

Riduci la frazione \frac{-18}{-4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=-\frac{10}{-4}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{-4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{5}{2}$$

Dividi \frac{9}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{9}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{9}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{9}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{5}{2}+\frac{81}{16}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a \frac{81}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{121}{16}$$

Fattore x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Sottrai \frac{9}{4} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{2} x=-5$$