Risolvi (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

Trova y

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4,192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1,192582404$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 3 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 9 a 20.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} quando ± è più. Aggiungi -3 a \sqrt{29}.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

Dividi -3+\sqrt{29} per -2.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{29} da -3.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

Dividi -3-\sqrt{29} per -2.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

Sottraendo 5 da se stesso rimane 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

Dividi 3 per -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

Dividi -5 per -1.

$$y^{2}-3y=5$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 5 a \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

Scomponi y^{2}-3y+\frac{9}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$