Risolvi (y-4)^2=2y^2-11y-12

$$( y - 4 ) ^ { 2 } = 2 y ^ { 2 } - 11 y - 12$$

Trova y

$$y=-4$$

$$y=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Sottrai 2y^{2} da entrambi i lati.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combina y^{2} e -2y^{2} per ottenere -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Aggiungi 11y a entrambi i lati.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combina -8y e 11y per ottenere 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

E 16 e 12 per ottenere 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -y^{2}+ay+by+28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=-28=-28$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=7 b=-4$$

Riscrivi -y^{2}+3y+28 come \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-4y+28\right)$$

Fattori in -y nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$-y\left(y-7\right)-4\left(y-7\right)$$

Fattorizza il termine comune y-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-7\right)\left(-y-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-7=0 e -y-4=0.

$$y=7 y=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Sottrai 2y^{2} da entrambi i lati.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combina y^{2} e -2y^{2} per ottenere -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Aggiungi 11y a entrambi i lati.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combina -8y e 11y per ottenere 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati.

$$-y^{2}+3y+16+12=0$$

E 16 e 12 per ottenere 28.

$$-y^{2}+3y+28=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 3 a b e 28 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 3 al quadrato.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 28}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 28.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 9 a 112.

$$y=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$y=\frac{-3±11}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$y=\frac{-3±11}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-3±11}{-2} quando ± è più. Aggiungi -3 a 11.

$$y=\frac{8}{-2}$$

Dividi 8 per -2.

$$y=-4$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-3±11}{-2} quando ± è meno. Sottrai 11 da -3.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

Dividi -14 per -2.

$$y=7$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=-4 y=7$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(y-4\right)^{2}.

$$y^{2}-8y+16=2y^{2}-11y-12$$

Sottrai 2y^{2} da entrambi i lati.

$$y^{2}-8y+16-2y^{2}=-11y-12$$

Combina y^{2} e -2y^{2} per ottenere -y^{2}.

$$-y^{2}-8y+16=-11y-12$$

Aggiungi 11y a entrambi i lati.

$$-y^{2}-8y+16+11y=-12$$

Combina -8y e 11y per ottenere 3y.

$$-y^{2}+3y+16=-12$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$-y^{2}+3y=-12-16$$

Sottrai 16 da -12 per ottenere -28.

$$-y^{2}+3y=-28$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{28}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{28}{-1}$$

Dividi 3 per -1.

$$y^{2}-3y=-\frac{28}{-1}$$

Dividi -28 per -1.

$$y^{2}-3y=28$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 28 a \frac{9}{4}.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore y^{2}-3y+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{11}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=7 y=-4$$