Risolvi (y+4)^2+2(y+4)y+y^2=4

$$( y + 4 ) ^ { 2 } + 2 ( y + 4 ) y + y ^ { 2 } = 4$$

Trova y

$$y=-3$$

$$y=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(y+4\right)^{2}.

$$y^{2}+8y+16+2\left(y+4\right)y+y^{2}=4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per y+4.

$$y^{2}+8y+16+\left(2y+8\right)y+y^{2}=4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2y+8 per y.

$$y^{2}+8y+16+2y^{2}+8y+y^{2}=4$$

Combina y^{2} e 2y^{2} per ottenere 3y^{2}.

$$3y^{2}+8y+16+8y+y^{2}=4$$

Combina 8y e 8y per ottenere 16y.

$$3y^{2}+16y+16+y^{2}=4$$

Combina 3y^{2} e y^{2} per ottenere 4y^{2}.

$$4y^{2}+16y+16=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$4y^{2}+16y+16-4=0$$

Sottrai 4 da 16 per ottenere 12.

$$4y^{2}+16y+12=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$y^{2}+4y+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=1\times 3=3$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=3$$

Riscrivi y^{2}+4y+3 come \left(y^{2}+y\right)+\left(3y+3\right).

$$\left(y^{2}+y\right)+\left(3y+3\right)$$

Fattori in y nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$y\left(y+1\right)+3\left(y+1\right)$$

Fattorizza il termine comune y+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y+1\right)\left(y+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y+1=0 e y+3=0.

$$y=-1 y=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(y+4\right)^{2}.

$$y^{2}+8y+16+2\left(y+4\right)y+y^{2}=4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per y+4.

$$y^{2}+8y+16+\left(2y+8\right)y+y^{2}=4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2y+8 per y.

$$y^{2}+8y+16+2y^{2}+8y+y^{2}=4$$

Combina y^{2} e 2y^{2} per ottenere 3y^{2}.

$$3y^{2}+8y+16+8y+y^{2}=4$$

Combina 8y e 8y per ottenere 16y.

$$3y^{2}+16y+16+y^{2}=4$$

Combina 3y^{2} e y^{2} per ottenere 4y^{2}.

$$4y^{2}+16y+16=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$4y^{2}+16y+16-4=0$$

Sottrai 4 da 16 per ottenere 12.

$$4y^{2}+16y+12=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 16 a b e 12 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Eleva 16 al quadrato.

$$y=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\times 12}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$y=\frac{-16±\sqrt{256-16\times 12}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 12.

$$y=\frac{-16±\sqrt{256-192}}{2\times 4}$$

Aggiungi 256 a -192.

$$y=\frac{-16±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$y=\frac{-16±8}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$y=\frac{-16±8}{8}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-16±8}{8} quando ± è più. Aggiungi -16 a 8.

$$y=-\frac{8}{8}$$

Dividi -8 per 8.

$$y=-1$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-16±8}{8} quando ± è meno. Sottrai 8 da -16.

$$y=-\frac{24}{8}$$

Dividi -24 per 8.

$$y=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=-1 y=-3$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(y+4\right)^{2}.

$$y^{2}+8y+16+2\left(y+4\right)y+y^{2}=4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per y+4.

$$y^{2}+8y+16+\left(2y+8\right)y+y^{2}=4$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2y+8 per y.

$$y^{2}+8y+16+2y^{2}+8y+y^{2}=4$$

Combina y^{2} e 2y^{2} per ottenere 3y^{2}.

$$3y^{2}+8y+16+8y+y^{2}=4$$

Combina 8y e 8y per ottenere 16y.

$$3y^{2}+16y+16+y^{2}=4$$

Combina 3y^{2} e y^{2} per ottenere 4y^{2}.

$$4y^{2}+16y+16=4$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$4y^{2}+16y=4-16$$

Sottrai 16 da 4 per ottenere -12.

$$4y^{2}+16y=-12$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4y^{2}+16y}{4}=-\frac{12}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$y^{2}+\frac{16}{4}y=-\frac{12}{4}$$

Dividi 16 per 4.

$$y^{2}+4y=-\frac{12}{4}$$

Dividi -12 per 4.

$$y^{2}+4y=-3$$

Dividi 4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 2. Quindi aggiungi il quadrato di 2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+4y+2^{2}=-3+2^{2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$y^{2}+4y+4=-3+4$$

Aggiungi -3 a 4.

$$y^{2}+4y+4=1$$

Fattore y^{2}+4y+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+2\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$y+2=1 y+2=-1$$

Sottrai 2 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-1 y=-3$$