Risolvi (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

Trova d

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right,$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 12, il minimo comune multiplo di 3,2,4.

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di 3 e 2 è 6. Moltiplica \frac{y^{3}}{3} per \frac{2}{2}. Moltiplica \frac{x^{2}}{2} per \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Poiché \frac{2y^{3}}{6} e \frac{3x^{2}}{6} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 12 per y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Annulla il massimo comune divisore 6 in 12 e 6.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 2y^{3}+3x^{2}.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 12y+4y^{3}+6x^{2} per d.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d per x.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per x+xy^{2}.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x+3xy^{2} per d.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3xd+3xy^{2}d per y.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

Combina 12ydx e 3xdy per ottenere 15ydx.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

Combina 4y^{3}dx e 3xdy^{3} per ottenere 7y^{3}dx.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

Combina tutti i termini contenenti d.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

L'equazione è in formato standard.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

Dividi 0 per 15yx+7y^{3}x+6x^{3}.

$$d=0$$

Trova x

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right,$$