Risolvi (x-7)^2-8=17

$$( x - 7 ) ^ { 2 } - 8 = 17$$

Trova x

$$x=12$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Sottrai 8 da 49 per ottenere 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Sottrai 17 da entrambi i lati.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Sottrai 17 da 41 per ottenere 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-14x+24 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-14 ab=24$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

La soluzione è la coppia che restituisce -14 come somma.

$$a=-12 b=-2$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-12=0 e x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Sottrai 8 da 49 per ottenere 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Sottrai 17 da entrambi i lati.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Sottrai 17 da 41 per ottenere 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-14 ab=1\times 24=24$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

La soluzione è la coppia che restituisce -14 come somma.

$$a=-12 b=-2$$

Riscrivi x^{2}-14x+24 come \left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-2x+24\right)$$

Fattori in x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-12\right)-2\left(x-12\right)$$

Fattorizza il termine comune x-12 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-12=0 e x-2=0.

$$x=12 x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Sottrai 8 da 49 per ottenere 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Sottrai 17 da entrambi i lati.

$$x^{2}-14x+41-17=0$$

Sottrai 17 da 41 per ottenere 24.

$$x^{2}-14x+24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -14 a b e 24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

Eleva -14 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 24}}{2}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-96}}{2}$$

Aggiungi 196 a -96.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{100}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±10}{2}$$

L'opposto di -14 è 14.

$$x=\frac{14±10}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±10}{2} quando ± è più. Aggiungi 14 a 10.

$$x=\frac{24}{2}$$

Dividi 24 per 2.

$$x=12$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{14±10}{2} quando ± è meno. Sottrai 10 da 14.

$$x=\frac{4}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=12 x=2$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49-8=17$$

Sottrai 8 da 49 per ottenere 41.

$$x^{2}-14x+41=17$$

Sottrai 41 da entrambi i lati.

$$x^{2}-14x=17-41$$

Sottrai 41 da 17 per ottenere -24.

$$x^{2}-14x=-24$$

Dividi -14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -7. Quindi aggiungi il quadrato di -7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

Eleva -7 al quadrato.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

Aggiungi -24 a 49.

$$x^{2}-14x+49=25$$

Fattore x^{2}-14x+49. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Semplifica.

$$x-7=5 x-7=-5$$

Aggiungi 7 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=12 x=2$$