Risolvi (x-3)^3=125

$$( x - 3 ) ^ { 3 } = 125$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=8$$

$$x=\frac{1+5\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+4,330127019i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-4,330127019i$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} per espandere \left(x-3\right)^{3}.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27=125$$

Sottrai 125 da entrambi i lati.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27-125=0$$

Sottrai 125 da -27 per ottenere -152.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-152=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -152 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±152,±76,±38,±19,±8,±4,±2,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=8$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{3}-9x^{2}+27x-152 per x-8 per ottenere x^{2}-x+19. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{2}-x+19=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -1 con b e 19 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 19}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{1±\sqrt{-75}}{2}$$

Risolvi l'equazione x^{2}-x+19=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\frac{-5i\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1+5i\sqrt{3}}{2}$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=8 x=\frac{-5i\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1+5i\sqrt{3}}{2}$$

Trova x

$$x=8$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} per espandere \left(x-3\right)^{3}.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27=125$$

Sottrai 125 da entrambi i lati.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-27-125=0$$

Sottrai 125 da -27 per ottenere -152.

$$x^{3}-9x^{2}+27x-152=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante -152 e q divide il coefficiente iniziale 1. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±152,±76,±38,±19,±8,±4,±2,±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=8$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi x^{3}-9x^{2}+27x-152 per x-8 per ottenere x^{2}-x+19. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$x^{2}-x+19=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -1 con b e 19 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 19}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{1±\sqrt{-75}}{2}$$

Poiché la radice quadrata di un numero negativo non è definita nel campo reale, non esistono soluzioni.

$$x\in \emptyset$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=8$$