Risolvi (x-3)^2+x(x+5)=8+2x

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + x ( x + 5 ) = 8 + 2 x$$

Trova x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x\left(x+5\right)=8+2x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+5.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+5x=8+2x$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+5x=8+2x$$

Combina -6x e 5x per ottenere -x.

$$2x^{2}-x+9=8+2x$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-x+9-8=2x$$

Sottrai 8 da 9 per ottenere 1.

$$2x^{2}-x+1=2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$2x^{2}-x+1-2x=0$$

Combina -x e -2x per ottenere -3x.

$$2x^{2}-3x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 2x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-2 b=-1$$

Riscrivi 2x^{2}-3x+1 come \left(2x^{2}-2x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(-x+1\right)$$

Fattori in 2x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$2x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 2x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x\left(x+5\right)=8+2x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+5.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+5x=8+2x$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+5x=8+2x$$

Combina -6x e 5x per ottenere -x.

$$2x^{2}-x+9=8+2x$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-x+9-8=2x$$

Sottrai 8 da 9 per ottenere 1.

$$2x^{2}-x+1=2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$2x^{2}-x+1-2x=0$$

Combina -x e -2x per ottenere -3x.

$$2x^{2}-3x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -3 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\times 2}$$

Aggiungi 9 a -8.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\times 2}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±1}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{3±1}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±1}{4} quando ± è più. Aggiungi 3 a 1.

$$x=\frac{4}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±1}{4} quando ± è meno. Sottrai 1 da 3.

$$x=\frac{2}{4}$$

Riduci la frazione \frac{2}{4} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x\left(x+5\right)=8+2x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+5.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+5x=8+2x$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+5x=8+2x$$

Combina -6x e 5x per ottenere -x.

$$2x^{2}-x+9=8+2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$2x^{2}-x+9-2x=8$$

Combina -x e -2x per ottenere -3x.

$$2x^{2}-3x+9=8$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-3x=8-9$$

Sottrai 9 da 8 per ottenere -1.

$$2x^{2}-3x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{1}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Dividi -\frac{3}{2}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{4}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{4} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Aggiungi -\frac{1}{2} a \frac{9}{16} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Aggiungi \frac{3}{4} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=\frac{1}{2}$$