Risolvi (x-3)^2+(x+4)^2=16

$$( x - 3 ) ^ { 2 } + ( x + 4 ) ^ { 2 } = 16$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}\approx -0,5+2,061552813i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}\approx -0,5-2,061552813i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Combina -6x e 8x per ottenere 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

E 9 e 16 per ottenere 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+2x+25-16=0$$

Sottrai 16 da 25 per ottenere 9.

$$2x^{2}+2x+9=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, 2 a b e 9 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8\times 9}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 2}$$

Aggiungi 4 a -72.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di -68.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} quando ± è più. Aggiungi -2 a 2i\sqrt{17}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{4}$$

Dividi -2+2i\sqrt{17} per 4.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{4} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{17} da -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{4}$$

Dividi -2-2i\sqrt{17} per 4.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-3\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+\left(x+4\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+4\right)^{2}.

$$x^{2}-6x+9+x^{2}+8x+16=16$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-6x+9+8x+16=16$$

Combina -6x e 8x per ottenere 2x.

$$2x^{2}+2x+9+16=16$$

E 9 e 16 per ottenere 25.

$$2x^{2}+2x+25=16$$

Sottrai 25 da entrambi i lati.

$$2x^{2}+2x=16-25$$

Sottrai 25 da 16 per ottenere -9.

$$2x^{2}+2x=-9$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{9}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Dividi 2 per 2.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{2}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{2}+\frac{1}{4}$$

Aggiungi -\frac{9}{2} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}i}{2}$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{2} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{2}$$