Risolvi (x-1)(x+2)-(2x-3)(x+4)-x+14=0

$$( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 3 ) ( x + 4 ) - x + 14 = 0$$

Trova x

$$x=-8$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-3 per x+4 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Per trovare l'opposto di 2x^{2}+5x-12, trova l'opposto di ogni termine.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Combina x e -5x per ottenere -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

E -2 e 12 per ottenere 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Combina -4x e -x per ottenere -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

E 10 e 14 per ottenere 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx+24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=-24=-24$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=3 b=-8$$

Riscrivi -x^{2}-5x+24 come \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right)$$

Fattori in x nel primo e 8 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+3\right)\left(x+8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+3=0 e x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-3 per x+4 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Per trovare l'opposto di 2x^{2}+5x-12, trova l'opposto di ogni termine.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Combina x e -5x per ottenere -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

E -2 e 12 per ottenere 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Combina -4x e -x per ottenere -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

E 10 e 14 per ottenere 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -5 a b e 24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 25 a 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{5±11}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±11}{-2} quando ± è più. Aggiungi 5 a 11.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Dividi 16 per -2.

$$x=-8$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±11}{-2} quando ± è meno. Sottrai 11 da 5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dividi -6 per -2.

$$x=3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-8 x=3$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per x+2 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-3 per x+4 e combinare i termini simili.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

Per trovare l'opposto di 2x^{2}+5x-12, trova l'opposto di ogni termine.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

Combina x^{2} e -2x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

Combina x e -5x per ottenere -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

E -2 e 12 per ottenere 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

Combina -4x e -x per ottenere -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

E 10 e 14 per ottenere 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

Sottrai 24 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-x^{2}-5x=-24$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

Dividi -5 per -1.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-1}$$

Dividi -24 per -1.

$$x^{2}+5x=24$$

Dividi 5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Aggiungi 24 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}+5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Sottrai \frac{5}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=-8$$