Risolvi (x-1)^2=4x(x-1)

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x per x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Aggiungi 4x a entrambi i lati.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Combina -2x e 4x per ottenere 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=3 b=-1$$

Riscrivi -3x^{2}+2x+1 come \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Scomponi 3x in -3x^{2}+3x.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

Fattorizza il termine comune -x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+1=0 e 3x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x per x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Aggiungi 4x a entrambi i lati.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Combina -2x e 4x per ottenere 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, 2 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 4 a 12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±4}{-6} quando ± è più. Aggiungi -2 a 4.

$$x=\frac{2}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±4}{-6} quando ± è meno. Sottrai 4 da -2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dividi -6 per -6.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4x per x-1.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Aggiungi 4x a entrambi i lati.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

Combina -2x e 4x per ottenere 2x.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

Dividi 2 per -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

Dividi -1 per -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

Dividi -\frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Aggiungi \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$