Risolvi (x-1)^2+2x(x-1)=0

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + 2 x ( x - 1 ) = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-1.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

Combina x^{2} e 2x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

Combina -2x e -2x per ottenere -4x.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-3 b=-1$$

Riscrivi 3x^{2}-4x+1 come \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-1.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

Combina x^{2} e 2x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

Combina -2x e -2x per ottenere -4x.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -4 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Aggiungi 16 a -12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2}{2\times 3}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±2}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{4±2}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2}{6} quando ± è più. Aggiungi 4 a 2.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dividi 6 per 6.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±2}{6} quando ± è meno. Sottrai 2 da 4.

$$x=\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+2x\left(x-1\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x per x-1.

$$x^{2}-2x+1+2x^{2}-2x=0$$

Combina x^{2} e 2x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-2x+1-2x=0$$

Combina -2x e -2x per ottenere -4x.

$$3x^{2}-4x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$3x^{2}-4x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividi -\frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{3} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Aggiungi \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$